Rumus Sn Aritmatika dan 2 Contoh Soal Lengkap dengan Jawabannya – Dalam matematika, barisan aritmatika memiliki peran penting sebagai salah satu konsep dasar. Jumlah suku-suku barisan aritmatika (Sn) merupakan topik yang sering dijumpai dalam pembelajaran. Rumus Sn aritmatika, beserta contoh soal dan jawabannya, akan menjadi fokus utama pembahasan kita kali ini. Pemahaman mendalam mengenai rumus ini sangat berguna dalam menyelesaikan berbagai permasalahan matematika.
Rumus Sn Aritmatika: Rumus Sn Aritmatika Dan 2 Contoh Soal Lengkap Dengan Jawabannya
Rumus Sn (jumlah n suku pertama) pada barisan aritmatika adalah:
Sn = n/2
– [2a + (n – 1)b]
Atau bisa juga ditulis:
Sn = n/2
– (a + Un)
Di mana:
- Sn: Jumlah n suku pertama
- n: Banyaknya suku
- a: Suku pertama
- b: Beda (selisih antara dua suku berurutan)
- Un: Suku ke-n
Penjelasan Mendalam:
Rumus pertama, Sn = n/2
– [2a + (n – 1)b], digunakan ketika kita mengetahui suku pertama (a), beda (b), dan banyaknya suku (n). Rumus ini diturunkan dari menjumlahkan suku-suku barisan aritmatika secara berpasangan. Perhatikan bahwa (n-1)b adalah selisih antara suku ke-n dan suku pertama (Un – a). Oleh karena itu, 2a + (n-1)b sama dengan a + a + (n-1)b, yang mana a + (n-1)b adalah suku ke-n (Un).
Dengan demikian, rumus ini pada dasarnya adalah rata-rata suku pertama dan suku terakhir (Un) dikalikan dengan banyaknya suku (n).
Rumus kedua, Sn = n/2
– (a + Un), digunakan ketika kita mengetahui suku pertama (a), suku ke-n (Un), dan banyaknya suku (n). Rumus ini lebih sederhana dan langsung mengaitkan jumlah suku dengan suku pertama dan suku terakhir.
Derivasi Rumus Sn:
Untuk memahami lebih dalam, mari kita lihat bagaimana rumus Sn diturunkan. Misalkan kita memiliki barisan aritmatika: a, a+b, a+2b, …, a+(n-1)b. Kita ingin mencari jumlah n suku pertama (Sn).
Source: slideplayer.com
Kita dapat menulis Sn sebagai berikut:
Sn = a + (a+b) + (a+2b) + … + [a+(n-2)b] + [a+(n-1)b]
Kemudian, kita tulis kembali Sn dengan urutan terbalik:
Sn = [a+(n-1)b] + [a+(n-2)b] + … + (a+b) + a
Jika kita jumlahkan kedua persamaan tersebut, kita akan mendapatkan:
2Sn = [2a+(n-1)b] + [2a+(n-1)b] + … + [2a+(n-1)b] + [2a+(n-1)b]
Perhatikan bahwa setiap pasangan suku jika dijumlahkan menghasilkan [2a+(n-1)b]. Karena ada n suku, maka:
2Sn = n
– [2a+(n-1)b]
Sehingga:
Sn = n/2
– [2a+(n-1)b]
Ini adalah rumus Sn yang pertama. Rumus kedua, Sn = n/2
– (a + Un), didapatkan dari mengganti [a + (n-1)b] dengan Un dalam rumus pertama.
Contoh Soal 1
Soal:
Tentukan jumlah 20 suku pertama dari barisan aritmatika: 3, 7, 11, 15, …
Penyelesaian:
Diketahui:
- a = 3 (suku pertama)
- b = 4 (beda, karena 7 – 3 = 4)
- n = 20 (banyaknya suku)
Menggunakan rumus Sn = n/2
– [2a + (n – 1)b]:
S20 = 20/2
– [2(3) + (20 – 1)4]
S20 = 10
– [6 + 19
– 4]
S20 = 10
– [6 + 76]
S20 = 10
– 82
Source: slideplayer.com
S20 = 820
Jadi, jumlah 20 suku pertama dari barisan aritmatika tersebut adalah 820.
Source: cloudfront.net
Contoh Soal 2
Soal:
Suku pertama suatu barisan aritmatika adalah 5. Suku ke-10 adalah 41. Tentukan jumlah 10 suku pertama dari barisan tersebut.
Penyelesaian:
Diketahui:
- a = 5 (suku pertama)
- U10 = 41 (suku ke-10)
- n = 10 (banyaknya suku)
Menggunakan rumus Sn = n/2
– (a + Un):
S10 = 10/2
– (5 + 41)
S10 = 5
– 46
S10 = 230
Jadi, jumlah 10 suku pertama dari barisan aritmatika tersebut adalah 230.
Ringkasan Rumus dan Penggunaannya:
| Rumus | Kondisi Penggunaan |
|---|---|
Sn = n/2 [2a + (n – 1)b] | Diketahui suku pertama (a), beda (b), dan banyaknya suku (n). |
Sn = n/2
| Diketahui suku pertama (a), suku ke-n (Un), dan banyaknya suku (n). |
Dengan memahami kedua rumus ini dan kapan menggunakannya, Anda akan lebih mudah menyelesaikan berbagai soal yang berkaitan dengan jumlah suku-suku barisan aritmatika.
Semoga penjelasan ini bermanfaat dan membantu Anda dalam memahami rumus Sn aritmatika. Terima kasih sudah membaca artikel ini sampai selesai! Jangan lupa untuk berkunjung kembali, karena kami akan terus menyajikan artikel-artikel menarik lainnya seputar matematika dan ilmu pengetahuan lainnya.